【三角関数】二倍角の公式～sin2αなどの解法

電気電子系の勉強を行う上で、昔学校で習った数学の知識が微妙に必要なことがありますので、せっかくだから少し詳しく学び直し、まとめてみました。
『なんでその定理が成り立つのか』という理由まで調べてみたものもあったりなかったりします。

今回は、「二倍角の公式」についての説明です。

１．二倍角の公式とは？
２．sin2αの証明
３．cos2αの証明
４．tan2αの証明

１．二倍角の公式とは？

三角関数の二倍角の公式とは、sin2αのように角度が二倍になっている場合の公式を指します。

公式の名前通りですね。

公式は以下のようになっています。

次項から公式の証明をしていきますが、加法定理を使うだけで簡単に求めることができます。

まずはsin2αの証明から始めます。

2αを(α+α)とみなして加法定理を適用するだけですけどね。

～加法定理～

sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα

はい、証明終了です。簡単ですね。

次はcos2αの証明です。

sin2αと同じように計算してみましょう。

cos2α=cos(α+α)=cosαcosα－sinαsinα=cos²α－sin²α

sin²α+cos²α=1なので、式を変形したsin²α=1－cos²αまたはcos²α=1－sin²αを代入すると、

cos²α－sin²α=1－2sin²α=2cos²α－1になります。

最後にtan2αの証明です。

以上です。

二倍角の公式に関しては複雑そうに見える割には単純です。
最悪求め方さえ覚えておけばすぐに計算が可能なので、覚えておく必要が無い筆頭だったり…。

ちなみに、同じ要領で三倍角・四倍角と求めていくことが可能です。

以上、「二倍角の公式」についての説明でした。

【基礎から学ぶ三角関数】